В 2000 году окончил Калининградский юридический институт МВД России.

После окончания вуза два года проработал в уголовном розыске криминальной милиции Калининграда.

В июле 2001 года вступил в Коммунистическую партию Российской Федерации.

В 2004 году окончил Российский университет инноваций.

В марте 2006 года участвовал в выборах депутатов Калининградской областной думы IV созыва от КПРФ, входил в состав региональной группы «Советская», но в парламент не прошёл. Позже занимал должности референта, старшего референта аппарата фракции КПРФ в Государственной думе.

С 2007 года по 2009 год являлся членом ЦИК России. В 2008 году окончил очно-заочное отделение Дипломатической академии Министерства иностранных дел России по специальности «международные отношения».

В октябре 2008 года на XIII съезде КПРФ был избран членом центрального комитета партии, впоследствии, в частности, на XVII съезде 27 мая 2017 года, неоднократно переизбирался.

11 октября 2009 года был избран в Московскую городскую думу V созыва.

Вновь был избран депутатом Мосгордумы на выборах, состоявшихся 14 сентября 2014 года.

С 24 февраля 2014 года Клычков — член Президиума ЦК КПРФ.

С 27 мая 2017 года — секретарь ЦК КПРФ.

5 октября 2017 года указом президента России Владимира Путина назначен временно исполняющим обязанности губернатора Орловской области.

9 сентября 2018 года одержал победу на досрочных выборах губернатора Орловской области.